ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ വളരെ പ്രചാരം നേടിയ ഒരു സംഖ്യയാണ്   $pi$ എന്ന ഗ്രീക്ക് അക്ഷരം കൊണ്ട് അറിയപ്പെടുന്നത്. വൃത്ത രൂപങ്ങളുടെ അളവുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട കണക്കുകൂട്ടലുകളില്‍ സാധാരണ ഇടം പിടിക്കുന്ന ഒന്നാണ് ഈ സംഖ്യ.$pi$ യുടെ ദശാംശഭിന്നരൂപം 3.14159..... എന്നിങ്ങനെ അനന്തമായി നീളുന്നു. പരിമിതമായ ദശാംശഭിന്ന രൂപം ഇല്ലാത്തതിനാല്‍ സാധാരണയായി 3.14 എന്ന ഏകദേശനമാണ്  $pi$യുടെ വിലയായി സ്വീകരിക്കുന്നത്. സര്‍വവിജ്ഞാനകോശം 17-ാം വാല്യത്തില്‍ ഉള്‍പ്പെട്ടിട്ടുള്ള ഈ ലേഖനം തയ്യാറാക്കിയത് യൂണിവേഴ്സിറ്റി കോളജിലെ മുന്‍ അധ്യാപകനായ ഡോ. ടി.ജി. ശരച്ചന്ദ്രനാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു വിഖ്യാത സംഖ്യ. നാലായിരത്തോളം വര്‍ഷമായി ഗണിതലോകത്തെ വിസ്മയിപ്പിക്കുകയും വിഭ്രമിപ്പിക്കുകയും ചെയ്തുവരുന്ന സംഖ്യയാണ് $$pi$pi$piഎന്ന ഗ്രീക്ക് അക്ഷരത്താല്‍ സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്ന 3.1415 9265... എന്ന സംഖ്യ. ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ സവിശേഷ സ്ഥാനമാണ് $pi$pi -യ്ക്ക്.

ലേഖനസംവിധാനം
i നിര്‍വചനം
ii. ചരിത്രം
iii. ഭാരതത്തില്‍
iv. കേരളത്തിന്‍റെ സംഭാവന
v. ആധുനിക കാലഘട്ടം
vi. പാറ്റേണുകള്‍
vii. കൗതുകങ്ങള്‍  

I. നിര്‍വചനം. ഏതൊരു വൃത്തത്തിന്‍റെയും പരിധിയെ (circumference) വ്യാസം (diameter) കൊണ്ടു ഭാഗിച്ചാല്‍ ഒരു സ്ഥിരസംഖ്യയാണ് കിട്ടുക. ഈ സ്ഥിരസംഖ്യയാണ് $pi$piകൊണ്ടു സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.    

രേഖീയ സംഖ്യകള്‍ (വാസ്തവികസംഖ്യകള്‍) ഒരു രേഖയില്‍ അടയാളപ്പെടുത്താവുന്നവയാണ്. ഈ രേഖ സംഖ്യാരേഖ (number line) എന്ന് അറിയപ്പെടുന്നു.p, q പൂര്‍ണസംഖ്യകളാവുകയും  $q {=}mathllap{/,} 0$q {=}mathllap{/,} 0 ആവുകയും ചെയ്താല്‍ $frac p q$frac p qഎന്ന രൂപത്തിലെഴുതാവുന്ന സംഖ്യകളെ ഭിന്നകങ്ങളെന്നു പറയുന്നു. എല്ലാ പൂര്‍ണസംഖ്യകളും ഭിന്നകങ്ങളാണ്. ഭിന്നസംഖ്യകളും ഭിന്നകങ്ങള്‍ തന്നെ. ഇത്തരത്തില്‍ എഴുതാന്‍ കഴിയാത്ത സംഖ്യകളെ അഭിന്നകങ്ങളെന്നു പറയുന്നു.$sqrt{2}$sqrt{2} ,$sqrt{3}$sqrt{3}തുടങ്ങിയവ അഭിന്നകങ്ങളാണ്. എന്നാല്‍ ഇവയും രേഖീയ സംഖ്യകള്‍ തന്നെ. പൊതുവെ, ആവര്‍ത്തകമല്ലാത്ത (non-recurring), അവസാനിക്കാത്ത (non-terminating) ദശാംശരൂപത്തിലുള്ള സംഖ്യകള്‍ അഭിന്നകങ്ങളാണ്. $pi$piഒരു അഭിന്നകമാണ്. കാരണം അതിന്‍റെ ദശാംശരൂപം ആവര്‍ത്തകമല്ലാത്ത, അവസാനിക്കാത്ത ഒന്നാണ്.$sqrt{2}$sqrt{2}, എന്ന അഭിന്നകംx²-2 = 0 എന്ന ബീജഗണിതസമവാക്യത്തിന്‍റെ മൂല്യമായി ലഭിക്കുന്നു. എന്നാല്‍ എന്ന അഭിന്നകം, ഭിന്നകഗുണോത്തരങ്ങളുള്ള ബീജഗണിത സമവാക്യത്തിന്‍റെ മൂല്യമല്ല. ഇത്തരം സംഖ്യകളെ അതീത സംഖ്യകള്‍ (transcendental numbers) എന്നു വിളിക്കാം.$pi$pi , e  തുടങ്ങിയവ അതീത സംഖ്യകളാണ്.  

II. ചരിത്രം. ഈജിപ്ത്. ബി.സി. 1650-ലേതെന്ന് കരുതുന്ന പാപ്പിറസില്‍ നിരവധി ഗണിത പ്രശ്നങ്ങള്‍ എഴുതിയിരിക്കുന്നവയില്‍ ഒന്ന് ഇപ്രകാരമാണ് - 'വശം 8 ആയ സമചതുരത്തിനും വ്യാസം 9 ആയ വൃത്തത്തിനും ഒരേ വിസ്തീര്‍ണമാണ്. ഇതില്‍നിന്നും ഏതൊരു വൃത്തത്തിന്‍റെയും വിസ്തീര്‍ണം കണക്കാക്കുക'.   

ഈ പ്രശ്നം വിശകലനം ചെയ്താല്‍ നമുക്ക് $pi$pi-യുടെ വില $3frac{13}{81}$3frac{13}{81}എന്നു കിട്ടും. ഇത് ഒരു 'ഏകദേശന'മാണ്. മുകളില്‍ കൊടുത്തിരിക്കുന്നത് 'വൃത്തത്തെ ചതുരമാക്കല്‍' (squaring the circle) എന്ന പ്രാചീന പ്രശ്നമാണ്. അതായത്, ഒരു വൃത്തതിനു തുല്യ വിസ്തീര്‍ണമുള്ള സമചതുരം നിര്‍മിക്കുക എന്ന പ്രശ്നം. ഈ പ്രശ്നത്തിനു ജ്യാമിതീയ നിര്‍മിതി രീതിയില്‍ പരിഹാരമില്ലെന്നു തെളിയിക്കാന്‍ അനേക നൂറ്റാണ്ടുകള്‍ വേണ്ടിവന്നു.   

ബൈബിളില്‍ $pi$pi: ഹീബ്രു ഭാഷയിലെഴുതിയ പഴയ നിയമത്തില്‍ സോളമന്‍ രാജാവിന്‍റെ കുളത്തെപ്പറ്റി ഒരു വര്‍ണനയുണ്ട്. ഇതില്‍ 10 യൂണിറ്റു വ്യാസമുള്ള കുളത്തിന്‍റെ വൃത്താകാരമായ പരിധി 30 യൂണിറ്റ് എന്നു പറയുന്നു. ഇതില്‍ നിന്നും  അക്കാലത്തെ $pi$pi-യുടെ ഏകദേശനം 3 ആയിരുന്നുവെന്നു കാണാം. എന്നാല്‍ നമ്മുടെ കടപയാദി സമ്പ്രദായത്തിലെന്നപോലെ ശ്ലോകത്തിലെ അക്ഷരങ്ങള്‍ക്ക് അക്കങ്ങള്‍ വിലയായി നല്‍കിയാല്‍ 3.141509 എന്ന നാല് ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ക്കു കൃത്യമായ ഏകദേശനം ലഭിക്കും. എന്നാല്‍ ഇതിന് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ആധികാരികതയില്ല.  

ഗ്രീസ്. 1936-ല്‍ സ്ട്രഡ എന്ന സ്ഥലത്തു നിന്നും (ബാബിലോണിയയില്‍ നിന്നും 200-300 കിലോമീറ്റര്‍ അകലെ) കണ്ടെത്തിയ പുരാലിഖിതങ്ങളില്‍ നിന്നും $pi$pi-യ്ക്ക് $3frac{1}{8}$3frac{1}{8}എന്ന ഏകദേശനം ഉപയോഗിച്ചിരുന്നതായി കാണാം.    

യൂക്ലിഡിന്‍റെ എലമെന്‍റ്സ് 12.2 ഇപ്രകാരം പ്രസ്താവിക്കുന്നു: അവയുടെ വ്യാസങ്ങളിന്മേലുള്ള സമചതുരങ്ങളെപ്പോലെയാണ് രണ്ടു വൃത്തങ്ങള്‍ പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത്.     

ഗ്രീസുകാര്‍ ബി.സി. 4-ാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ ഈ ആശയത്തെപ്പറ്റി ആഴത്തില്‍ ചിന്തിക്കാന്‍ ശ്രമിച്ചു. അനക്സഗോറസ് (ബി.സി. 550-428) ആണ് വൃത്തവും ചതുരവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ചര്‍ച്ച ചെയ്ത ആദ്യ ഗ്രീസുകാരന്‍ എന്നുപറയപ്പെടുന്നു.     

സോക്രട്ടീസിന്‍റെ സമകാലികരായിരുന്നു ആന്‍റിഫണും ബ്രിസണും. രേചനതത്ത്വം (Principle of exhaustion) ഇവരാണ് ആദ്യമായി ഉപയോഗിച്ചത്. വൃത്തത്തില്‍ ആലേഖനം ചെയ്ത ഒരു സമഷഡ്ഭുജത്തിന്‍റെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം ക്രമേണ ഇരട്ടിച്ചുകൊണ്ടിരുന്നാല്‍ ആത്യന്തികമായി ബഹുഭുജം വൃത്തത്തില്‍ വിലയം പ്രാപിക്കും.     

ആന്‍റിഫണ്‍ ആദ്യം വൃത്തത്തില്‍ ബഹുഭുജം ആലേഖനം ചെയ്തു. ക്രമാനുഗതമായി ബഹുഭുജത്തിന്‍റെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം കൂട്ടി. ഓരോ ബഹുഭുജവും വൃത്തത്തോട് അടുക്കുന്നതനുസരിച്ച് അതിന്‍റെ വിസ്തീര്‍ണം കണ്ടുപിടിച്ചു. ബ്രിസണ്‍ അല്പംകൂടി കടന്നു ചിന്തിച്ചു. വൃത്തത്തില്‍ ഒരു സമബഹുഭുജം അന്തര്‍ലേഖനം ചെയ്യുകയും മറ്റൊന്ന് ബഹിര്‍ലേഖനം ചെയ്യുകയും ചെയ്തു. വൃത്തവിസ്തീര്‍ണം ഇവയുടെ വിസ്തീര്‍ണങ്ങള്‍ക്കിടയിലാണെന്നു കണ്ടെത്തി. ഉച്ച നിമ്ന പരിധികളുപയോഗിച്ചുള്ള ആദ്യ ശ്രമമായിരുന്നു ഇത്.      

ഇരുനൂറു വര്‍ഷങ്ങള്‍ക്കുശേഷം ആര്‍ക്കിമെഡിസ് (ബി.സി. 287-212) ഇരുവരുടെയും രീതി സമന്വയിപ്പിച്ചു. വിസ്തീര്‍ണത്തിനു പകരം ബഹുഭുജങ്ങളുടെ ചുറ്റളവ് ഉപയോഗിച്ച് വൃത്ത പരിധി നിര്‍ണയിച്ചു.       

അദ്ദേഹം വൃത്തത്തില്‍ അന്തര്‍ലേഖനം ചെയ്ത സമഷഡ്ഭുജവും ബഹിര്‍ലേഖനം ചെയ്ത മറ്റൊരു സമഷഡ്ഭുജവും പരിഗണിച്ചു. വൃത്തവ്യാസം 1 എങ്കില്‍ അന്തര്‍ ലിഖിത സമഷഡ്ഭുജത്തിന്‍റെ ചുറ്റളവ് 3 ആണ്. ഇത് വൃത്തപരിധിയായ $pi$pi-യെക്കാള്‍ ചെറുതാണ്. ബഹിര്‍ലിഖിത സമഷഡ്ഭുജത്തിന്‍റെ ചുറ്റളവ്  $3sqrt{2}$3sqrt{2} അല്ലെങ്കില്‍ 3.46... അപ്പോള്‍ 3 <$pi$pi $$< 3.46. സമഷഡ്ഭുജത്തിനു പകരം 12 സമ വശങ്ങളുള്ള സമഭുജം ഉപയോഗിച്ചാല്‍ കുറേക്കൂടി നല്ല ഏകദേശനം കിട്ടും. ഈ ബഹുഭുജങ്ങളുടെ ചുറ്റളവുകള്‍ക്കുള്ളില്‍ $pi$pi ഞെരിഞ്ഞമരുന്നു. 96 വശങ്ങളുള്ള സമ ബഹുഭുജങ്ങളില്‍ നിന്നും ആര്‍ക്കിമെഡിസ്    $3frac{10}{71} < pi < 3frac{1}{7}$3frac{10}{71} < pi < 3frac{1}{7} എന്ന ഏകദേശന പരിധികള്‍ കണ്ടെത്തി. അതായത്, 3.1408 <$pi$pi < 3.1428 ഇത് രണ്ട് ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ക്കു ശരിയായ ഏകദേശനമാണ്.      

തുടര്‍ന്ന് അപ്പോളോനിയസ് (ബി.സി. 250-175) 3.1416 എന്ന ഏകദേശനം നല്‍കി. ടോളമി (100-178) $frac{377}{120}$frac{377}{120} =3.14166... എന്ന ഏകദേശനത്തിലെത്തി.
         $3+frac {8}{60}+frac {30}{3600}$3+frac {8}{60}+frac {30}{3600}  ആണ് $pi$pi -യുടെ വിലയെന്ന് ടോളമി തന്‍റെ മെഗലെ സിന്‍റാക്സിസ്ടെ അസ്ട്രൊണോമിയസ് (Megale syntaxis  tes astronomieas) എന്ന ഗ്രന്ഥത്തില്‍ രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ഇത് ശരിയായ വിലയ്ക്ക് 0.003 ശതമാനം അടുത്താണ്.       

റോം: ക്രിസ്തുവിന് മുമ്പുള്ള കാലഘട്ടത്തിലെ റോമാക്കാര്‍ $3frac{1}{8}$3frac{1}{8}ആണ് $pi$piയുടെ ഏകദേശനമായി സ്വീകരിച്ചത്,  $3frac{1}{7}$3frac{1}{7} ആണ് കൂടുതല്‍ കൃത്യമെന്ന് അറിയാമായിരുന്നിട്ടുകൂടി. 4 അടി വ്യാസമുള്ള ചക്രത്തിന്  $12frac{1}{2}$12frac{1}{2}അടി പരിധിയുണ്ട് എന്ന തോതാണ് അവര്‍ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിച്ചിരുന്നത്. ഇത്  $3frac{1}{8}$3frac{1}{8}എന്ന ഏകദേശനമാണ്.$pi$pi = 4 എന്ന ഏകദേശനമുപയോഗിച്ച് റോമാക്കാര്‍ പടുത്തുയര്‍ത്തിയ സൗധങ്ങള്‍ അദ്ഭുതമുണര്‍ത്തും.  

ചൈന. ബി.സി. 12-ാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ ചൈനാക്കാര്‍ $pi$pi= 3 എന്ന ഏകദേശനമുപയോഗിച്ചിരുന്നു. 900 വര്‍ഷങ്ങള്‍ക്കു ശേഷമാണ് ചൈനയില്‍ ഇത് സംബന്ധിച്ച് കാര്യമായ പഠനം നടന്നത്. ക്രിസ്തുവിനുശേഷം രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ ചാങ്ഹോങ് $frac{pi^{2}}{16} = frac {5}{8}$frac{pi^{2}}{16} = frac {5}{8} എന്നു കണ്ടെത്തി. ഇതില്‍ നിന്നും  $pi = sqrt{10}$pi = sqrt{10} =3.162 എന്ന ഏകദേശനം ലഭിച്ചു. വാങ് ഫൗ (229-267) ഒരു വൃത്തത്തിന്‍റെ പരിധി 142 എങ്കില്‍ വ്യാസം 45 എന്നു കണ്ടെത്തി. ഇത് = 3.156 എന്ന ഏകദേശനത്തിലെത്തിച്ചു. ലിയുഹുയ് 3-ാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ 3072 വശങ്ങളുള്ള സമഭുജമുപയോഗിച്ച് -യുടെ വില അഞ്ചു ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ക്ക് കൃത്യമായി  $pi$pi= 3.14159 എന്നു കണ്ടെത്തി. 5-ാം നൂറ്റാണ്ടിലെ ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രജ്ഞനായ ത്സുചുങ്ചി മകന്‍ ത്സു കെങ് ചിയോടൊപ്പം 24,576 വശങ്ങളുള്ള ബഹുഭുജമുപയോഗിച്ച്  $frac{355}{113}$frac{355}{113} =3.1415929  എന്ന ഏകദേശനം കണ്ടെത്തി. ഇത് ആറു ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങള്‍ക്കു ശരിയായ വിലയാണ്.    

അറേബ്യ. അല്‍ ഖ്വാരിസ്മി ക്രിസ്തുവിനുശേഷം 833-മാണ്ടില്‍ $pi$pi-യുടെ ഏകദേശനമായി  $3frac{1}{7}$3frac{1}{7}-ഉം തുടര്‍ന്ന്  $frac{62832}{20000}$frac{62832}{20000}=3.1416-ഉം നിര്‍ദേശിച്ചു. 1436-ല്‍ അല്‍ യാഷി 2= 6.2831853071795865 എന്നു കണ്ടെത്തി.    

യൂറോപ്പ്. ഫിബൊനാച്ചി (Fibonacci) 1202-ല്‍ $pi$pi-യുടെ വില $$ $frac{864}{275} approx 3.1418$frac{864}{275} approx 3.1418 എന്നു കണ്ടെത്തി. ഇത് പ്രാക്ടിക്കാ ജ്യോമെട്രിയ  (Practica Geometriae) എന്ന പുസ്തകത്തില്‍ കൊടുത്തിട്ടുണ്ട്. 1593-ല്‍ ഫ്രാങ്സ്വ വിയറ്റ (Francois Vieta, 1540-1603) നേരിട്ടു  കാണുവാന്‍ ഗുണിത രൂപത്തിലുള്ള ആദ്യ സൂത്രം കണ്ടെത്തി.

$frac{pi}{2} = frac{1}{sqrt{frac{1}{2}}sqrt{frac{1}{2}+frac{1}{2}}sqrt{frac{1}{2}}.......}$frac{pi}{2} = frac{1}{sqrt{frac{1}{2}}sqrt{frac{1}{2}+frac{1}{2}}sqrt{frac{1}{2}}.......}
       

ഇതിലൂടെ 10 ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ക്ക് കൃത്യത കൈവരുത്തി. ബഹുഭുജങ്ങള്‍ക്കു പകരം ത്രികോണങ്ങളാണ് അദ്ദേഹം ഉപയോഗപ്പെടുത്തിയത്. ഇത് ഗണിതത്തിലെ വിവിധ പ്രശ്നങ്ങള്‍ -വാല്യം 8 (Variorum  de rebus mathematics responsorum Liber VIII)  എന്ന പുസ്തകത്തില്‍ ഉള്‍പ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ഗ്രീസുകാരും ചൈനാക്കാരും ചിഹ്നനത്തിന്‍റെ ബുദ്ധിമുട്ടു നേരിട്ടവരായിരുന്നു. ഇന്നുപയോഗിക്കുന്ന അറബി അക്കങ്ങള്‍ (Arabic numerals) പ്രചാരത്തിലായതോടെ $pi$pi -യുടെ വില നിരവധി സ്ഥാനങ്ങള്‍ക്കു കൃത്യമായി കാണാനുള്ള ശ്രമങ്ങള്‍ക്കു വേഗമേറി. ലുഡോള്‍ഫ് വാന്‍ സൊയ്ലന്‍ (Ludolph van Ceulen) എന്ന ഡച്ചുകാരന്‍ 60 x 2²⁹   വശങ്ങളുള്ള ബഹുഭുജത്തിന്‍റെ സഹായത്തോടെ $pi$pi$$pi-യുടെ വില 20 ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ക്കു കൃത്യമായി കാണുകയും പിന്നീടത് 35 സ്ഥാനമാക്കി ഉയര്‍ത്തുകയും ചെയ്തു.   

കലനം (calculus) നിരവധി അനന്തശ്രേണികള്‍ -യ്ക്കു സമ്മാനിച്ചു. 14-15 ശതകങ്ങളില്‍ ജീവിച്ചിരുന്ന മാധവന്‍ എന്ന ഗണിത ശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ ത്രികോണമിതീയ ഏകദങ്ങള്‍ക്ക് അനന്തശ്രേണികള്‍ കണ്ടെത്തി. ഗ്രിഗറി എന്ന ബ്രിട്ടീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്‍റെ സംഭാവനകളും പരിഗണിച്ച് ഈ ശ്രേണി മാധവ -ഗ്രിഗറി ശ്രേണി എന്ന് അറിയപ്പെടുന്നു. എബ്രഹാം ഷാര്‍പ്പ് അത്തരം ഒരു ശ്രേണി ഉപയോഗിച്ച് 1705-ല്‍ 72 ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങള്‍ക്കു  കൃത്യമായി -യുടെ വില കണ്ടു. തുടര്‍ന്ന് ജോണ്‍ മാക്കിന്‍ 100 സ്ഥാനങ്ങളിലേക്കും 1717-ല്‍ തോമാ ദ് ലാനി (Thomas de Lagny) 127 സ്ഥാനങ്ങള്‍ക്കും $pi$pi-യുടെ ഏകദേശനം എത്തിച്ചു.

ഇംഗ്ലണ്ടിലെ ജോണ്‍ വാലിസിന്‍റെ (ഖീവി ണമഹഹശെ) (1616-1703) സൂത്രം ശ്രദ്ധേയമാണ്.
$frac{2}{pi} = frac{1.3.3.5.5.7....}{2.2.4.4.6.6...}$frac{2}{pi} = frac{1.3.3.5.5.7....}{2.2.4.4.6.6...}  ഇതില്‍ നിന്നും ലോര്‍ഡ് ബ്രൗണ്‍കര്‍ (ഘീൃറ ആൃീൗിരവമൃ; 16201684)

$frac {4}{pi} = frac{1}{2 + frac{9}{2 + frac{25}{2 + frac{49}{2+....}}}}$frac {4}{pi} = frac{1}{2 + frac{9}{2 + frac{25}{2 + frac{49}{2+....}}}}

എന്ന തുടര്‍ഭിന്നം (continued fraction) കണ്ടെത്തി. ജയിംസ് ഗ്രിഗറി(James Gregory;163775)യുടെ  $int_{0}^x {{rm d} t over 1+t^2} = arctan x = x- frac {x^3}{3}+frac {x^3}{5}-............$int_{0}^x {{rm d} t over 1+t^2} = arctan x = x- frac {x^3}{3}+frac {x^3}{5}-............

എന്ന ശ്രേണി (മാധവ-ഗ്രിഗറി ശ്രേണി)യില്‍ നിന്നും പ്രചോദനം കൊണ്ട് ജോണ്‍ മാക്കിന്‍ (John Machin; 16801751)
$frac {pi}{4}=4 arctan {frac {1}{5}} - arctan {frac {1}{239}}$frac {pi}{4}=4 arctan {frac {1}{5}} - arctan {frac {1}{239}} എന്ന് കണ്ടെത്തി. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ മഹാ പ്രതിഭയായിരുന്ന ലെയൊനാര്‍ഡ് ഒയ്ലര്‍ (Leonhard Euler; 170783) $pi$pi-യുടെ വില കണ്ടെത്താനുള്ള നിര വധി സൂത്രവാക്യങ്ങള്‍ അവതരിപ്പിച്ചു. 1779-ല്‍

$pi=20 arctan {frac {1}{7}} - 8 arctan {frac {3}{79}}$pi=20 arctan {frac {1}{7}} - 8 arctan {frac {3}{79}}  എന്ന സൂത്രം അദ്ദേഹം കണ്ടെത്തി. കൂടാതെ

                           $frac{pi^{2}}{16} = displaystylesum_{n=1}^infty {frac {1}{n^2}}$frac{pi^{2}}{16} = displaystylesum_{n=1}^infty {frac {1}{n^2}}

                           $frac{pi^{4}}{90} = displaystylesum_{n=1}^infty {frac {1}{n^4}}$frac{pi^{4}}{90} = displaystylesum_{n=1}^infty {frac {1}{n^4}}

                            $frac{pi^{6}}{945} = displaystylesum_{n=1}^infty {frac {1}{n^6}}$frac{pi^{6}}{945} = displaystylesum_{n=1}^infty {frac {1}{n^6}}
 

തുടങ്ങിയ സൂത്രങ്ങളും അദ്ദേഹം സംഭാവന ചെയ്തു.        

1706-ല്‍ വില്യം ജോണ്‍സ് ആണ് ആദ്യമായി $pi$pi എന്ന ഗ്രീക്ക് അക്ഷരം വൃത്തപരിധിയും വ്യാസവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതം സൂചിപ്പിക്കുവാന്‍ ഉപയോഗിച്ചത് എന്ന് ഗീവര്‍ഗീസ് ജോസഫിന്‍റെ മയൂരശിഖ (The Crest  of Peacock) എന്ന ഗ്രന്ഥത്തില്‍ പറഞ്ഞിട്ടുണ്ട്. ലെയൊനാര്‍ഡ് ഒയ്ലര്‍ 1748-ല്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച അനാലിസിസ് ഇന്‍ഫിനിറ്റോറം (Analysis Infinitorum) എന്ന കൃതിയില്‍ ഉപയോഗിച്ചതോടെ ഈ ചിഹ്നത്തിന് വ്യാപകമായ അംഗീകാരം ലഭിച്ചു.      

ലോഗരിതത്തിന്‍റെ അടിസ്ഥാനമായി ഉപയോഗിക്കുന്ന ല എന്ന സംഖ്യയും -1 ന്‍റെ വര്‍ഗമൂലമായ i  എന്ന സാങ്കല്പിക സംഖ്യയും ചേര്‍ത്ത് ഒയ്ലര്‍ നല്‍കിയ
                                  $e^{ipi}+1=0$e^{ipi}+1=0

എന്ന സമവാക്യം പ്രസിദ്ധമാണ്. ഇവിടെ ല,എന്നീ അതീത സംഖ്യകള്‍ (ൃമേിരെലിറലിമേഹ ിൗായലൃെ), ശ എന്ന സമ്മിശ്രസംഖ്യ (രീാുഹലഃ ിൗായലൃ), 0,1 എന്നീ സവിശേഷ പൂര്‍ണസംഖ്യകള്‍ ഇവയെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു മനോഹര ദൃശ്യമാണ് ഒരുക്കിയിരിക്കുന്നത്.     

$pi$pi-യുടെ നാള്‍ വഴി തുടര്‍ന്നാല്‍, 1800-ഓടെ വേഗ, -യുടെ വില 140 സ്ഥാനങ്ങള്‍ക്കു കൃത്യമാക്കി. സക്കറിയാസ് ദാസെ (Zacharias Dase) അത് 200 സ്ഥാനങ്ങളാക്കി. താഴെകൊടുത്തിരിക്കുന്ന ശ്രേണിയാണ് ദാസെ ഉപയോഗിച്ചത്.  

$frac {pi}{4} = frac{1}{2 } +frac{1}{5}+frac{1}{8}-[frac{(frac{1}{2})^3}{3 }+frac{(frac{1}{5})^3}{3 }+frac{(frac{1}{8})^3}{3 }] + [frac{(frac{1}{2})^5}{5}+frac{(frac{1}{5})^5}{5}+frac{(frac{1}{8})^5}{5}]-.......$frac {pi}{4} = frac{1}{2 } +frac{1}{5}+frac{1}{8}-[frac{(frac{1}{2})^3}{3 }+frac{(frac{1}{5})^3}{3 }+frac{(frac{1}{8})^3}{3 }] + [frac{(frac{1}{2})^5}{5}+frac{(frac{1}{5})^5}{5}+frac{(frac{1}{8})^5}{5}]-.......
$[frac{(frac{1}{2})^5}{5}+frac{(frac{1}{5})^5}{5}+frac{(frac{1}{8})^5}{5}]-...$

[frac{(frac{1}{2})^5}{5}+frac{(frac{1}{5})^5}{5}+frac{(frac{1}{8})^5}{5}]-.......ഇതില്‍ നിന്നും കിട്ടുന്ന
$pi = 4 [0.825-0.0449842+0.00632-----]$pi = 4 [0.825-0.0449842+0.00632-----]
 എന്ന ശ്രേണിയിലെ ഒമ്പതു പദങ്ങളെടുത്താല്‍ രണ്ടു ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങളുടെ കൃത്യത കിട്ടും.       

ബ്രിട്ടന്‍കാരനായ വില്യം റൂഥര്‍ഫോര്‍ഡ് (William Rutherford) 440 സ്ഥാനങ്ങള്‍ക്കു കൃത്യമായി  $pi$pi -യുടെ വില കണ്ടു. വില്യം ഷാങ്ക്സ് (William Shanks) 1874-ല്‍ 707 സ്ഥാനങ്ങളുടെ കൃത്യത അവകാശപ്പെട്ടു. എന്നാല്‍ 527-ാം സ്ഥാനത്തെ അക്കം തെറ്റാണെന്ന് ഫെര്‍ഗുസന്‍ (എലൃഴൗീിൈ) കണ്ടെത്തി. പേനയും കടലാസുമുപയോഗിച്ച് അദ്ദേഹം 1946-ല്‍ 620 സ്ഥാനങ്ങള്‍ കൃത്യമാക്കി. ഇത്തരത്തില്‍ ഇതിനപ്പുറം ആരും $pi$pi-യുടെ വില കൃത്യമാക്കിയിട്ടില്ല.       

ഒരു കാല്‍ക്കുലേറ്റര്‍ ഉപയോഗിച്ച് 1947-ല്‍ ഇദ്ദേഹം 808 സ്ഥാനങ്ങള്‍ ഉറപ്പാക്കി. പിന്നീട് മത്സരം കംപ്യൂട്ടറുകള്‍ ഏറ്റെടുത്തു. ആദ്യ ശ്രമം ഈനിയാക് (ENIAC-  Electronic Numerical Integrator and Computer) ആണ് നടത്തിയത്.   

III. ഭാരതത്തില്‍. ഭാരതത്തില്‍ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്‍റെ വികാസം ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രപഠനത്തിന് ഉപോദ്ബലകമായ ഒരു ശാസ്ത്രമെന്ന നിലയ്ക്കായിരുന്നു. അക്കാലത്തെ സാമൂഹിക ക്രമത്തിനും ആചാരങ്ങള്‍ക്കും അനുസൃതമായും ഗണിതശാസ്ത്രം പുരോഗമിച്ചു.    

വൈദിക കാലത്ത് യജ്ഞശാലകളുടെ നിര്‍മാണത്തിന് വിവിധ ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളുടെ കൃത്യമായ കണക്കുകള്‍ വേണ്ടിവന്നു. 'വൃത്തത്തെ ചതുരമാക്കല്‍' എന്ന പ്രശ്നവും ഭാരതത്തില്‍ ശ്രദ്ധയാകര്‍ഷിച്ചിരുന്നു. അക്കാലത്ത്  $pi$pi-യുടെ ഏകദേശനമായി ഉപയോഗിച്ചുവന്നു.     

ആര്യഭടന്‍. ആര്യഭടീയത്തില്‍ തന്‍റെ ജനനം 476-മാണ്ടിലാണെന്ന് അദ്ദേഹം പ്രസ്താവിച്ചു കാണുന്നു. ഗണിതപാദം 9-ാം ശ്ലോകത്തില്‍
      "പരിധേ ഷഡ്ഭാഗ ജ്യാ
       വിഷ്കംഭാര്‍ധേന സാ തുല്യാ"-
       എന്നു പ്രസ്താവിച്ചിട്ടുണ്ട്. അതായത്, വൃത്തപരിധിയുടെ ആറിലൊരു ഭാഗത്തിന്‍റെ ജ്യാവ് വ്യാസാര്‍ഥത്തിനു തുല്യം. ഈ നിരീക്ഷണം ത്രികോണമിതീയപട്ടികകളുടെ രൂപവത്കരണത്തിനു സഹായകമായി. 10-ാം ശ്ലോകമാണ്  $pi$pi-യുടെ ഏകദേശനം നല്‍കുന്നത്.
                                       "ചതുരധികം ശതമഷ്ടഗുണം
                                        ദ്വാഷഷ്ടി സ്തഥാ സഹസ്രാണാം
                                        അയുത ദ്വയവിഷ്കംഭ-
                                         ന്യാസന്നോ വൃത്ത പരിണാഹ:"

അതായത് 104-നെ 8 കൊണ്ടു ഗുണിച്ച് 62000 കൂട്ടിയാല്‍ 62832. ഇത് 20000 ഏകകം വ്യാസമുള്ള വൃത്തത്തിന്‍റെ ആസന്നപരിധിയാണ്.
ഇതുപ്രകാരം  $pi$pi=   $frac{62832}{20000}$frac{62832}{20000}    = 3.1416 എന്നു കാണാം.       

384 വശങ്ങളുള്ള സമബഹുഭുജമുപയോഗിച്ച് ആര്യഭടന്‍ എന്ന വിലയിലേക്ക് എത്തുകയും തുടര്‍ന്ന് 3.1416 എന്ന ഏകദേശനത്തിലെത്തുകയുമായിരുന്നു.      

ബ്രഹ്മഗുപ്തന്‍. ഒരു യൂണിറ്റ് വ്യാസമുള്ള വൃത്തത്തില്‍ അന്തര്‍ലേഖനം ചെയ്യാവുന്ന 12,24,48,96...വശങ്ങളുള്ള സമബഹുഭുജങ്ങളുടെ ചുറ്റളവ് യഥാക്രമം  $sqrt{9.65}$sqrt{9.65},$sqrt{9.81}$sqrt{9.81},$sqrt{9.86}$sqrt{9.86},$sqrt{9.87}$sqrt{9.87}..... എന്നിങ്ങനെയാണെന്ന് അദ്ദേഹം കണ്ടെത്തി. ഈ സംഖ്യാ അനുക്രമം $sqrt{10}$sqrt{10} ലേക്ക് എത്തുമെന്ന് ഊഹിച്ച് $sqrt{10}$sqrt{10} എന്ന ഏകദേശനം ബ്രഹ്മഗുപ്തന്‍  $pi$pi-യ്ക്കു നല്‍കി. ജൈനഗണിതജ്ഞര്‍  $pi$pi-യ്ക്കു നല്‍കിയിരിക്കുന്ന ഏകദേശനവും  $sqrt{10}$sqrt{10} ആണ്.     

തുടര്‍ന്നു വന്ന ശ്രീധരന്‍ $pi$pi=3 എന്ന വില ഉപയോഗിച്ച് വൃത്തസ്ഥൂപികാപീഠത്തിന്‍റെ വ്യാപ്തം കണ്ടപ്പോള്‍ മഹാവീരന്‍ ഒരു വൃത്തവലയത്തിന്‍റെ ഏകദേശ വിസ്തീര്‍ണം $pi$pi=3 നല്‍കുമെന്നും കൃത്യമായ വിസ്തീര്‍ണത്തിന് $pi=sqrt{10}$pi=sqrt{10} എന്ന വില ഉപയോഗിക്കണമെന്നും കണ്ടെത്തി.    

ഭാസ്കരാചാര്യര്‍. 1150-ല്‍ രചിച്ച സിദ്ധാന്തശിരോമണിയിലെ അങ്കഗണിത വിഭാഗമാണ് ലീലാവതി. ഇതില്‍ $pi$pi-യുടെ ഏകദേശനമായി $frac{3927}{1250}$frac{3927}{1250}നല്‍കിയിരിക്കുന്നു. ഇത് ആര്യഭടന്‍ നിര്‍ദേശിച്ച വില തന്നെയാണ്.  

IV. കേരളത്തിന്‍റെ സംഭാവന. ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ക്കുശേഷം ഇന്ത്യയില്‍ ഗണിതശാസ്ത്രം വികാസം പ്രാപിച്ചത് കേരളത്തിലായിരുന്നു. ഈ വികാസത്തിന് പ്രത്യേകിച്ച് അനന്തശ്രേണികളുടെ പഠനത്തിന് വഴിവച്ചത് വ്യാസം തന്നാല്‍ വൃത്തപരിധി കൃത്യമായി കണക്കാക്കാന്‍ കഴിയില്ല എന്ന തിരിച്ചറിവായിരുന്നു. സംഗമഗ്രാമ മാധവനില്‍ തുടങ്ങി ശങ്കരവര്‍മനിലെത്തി നില്‍ക്കുന്ന പൈതൃകമാണ് കേരളീയ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്‍റേത്.    

സംഗമഗ്രാമ മാധവന്‍. ഏകദേശം 1380-1420 കാലഘട്ടത്തില്‍ ഇരിങ്ങാലക്കുടയ്ക്കടുത്ത് സംഗമഗ്രാമത്തില്‍ ജീവിച്ചിരുന്ന മാധവന്‍ കേരളീയ ഗണിതപഠനത്തിന് ശക്തമായ അടിത്തറ പാകി. അദ്ദേഹത്തിന്‍റെ പ്രശസ്തി പ്രധാനമായും ത്രികോണമിതീയ ഏകദങ്ങള്‍ക്ക് അനന്തശ്രേണികള്‍ കണ്ടെത്തിയതിലാണ്.
        $arctan x = x- frac {x^3}{3}+frac {x^5}{5}-......$arctan x = x- frac {x^3}{3}+frac {x^5}{5}-......എന്ന ശ്രേണിയില്‍ ത x = 1 എന്നെടുത്താല്‍  $frac {4}{pi} =1- frac{1}{3} +frac{1}{5}+frac{1}{7}-..........$frac {4}{pi} =1- frac{1}{3} +frac{1}{5}+frac{1}{7}-..........എന്നു കിട്ടും.       

ഗ്രിഗറി എന്ന ബ്രിട്ടീഷ് ഗണിതജ്ഞന്‍റെ പേരില്‍ അറിയപ്പെട്ടിരുന്ന ഈ ശ്രേണി ഇപ്പോള്‍ മാധവ-ഗ്രിഗറി ശ്രേണി എന്ന് അറിയപ്പെട്ടു തുടങ്ങിയിട്ടുണ്ട്.         

ബഹുഭുജങ്ങളെ വിട്ട് നേരിട്ട്  $pi$pi കണ്ടെത്താനുള്ള ഒരു മാര്‍ഗമായി ഈ കണ്ടുപിടിത്തം. ലഘൂകരിച്ചാല്‍, $frac {pi}{4} = frac{1}{2 } +frac{1}{5}+frac{1}{8}$$pi =4 - frac{4}{3 } +frac{4}{5}-..........$pi =4 - frac{4}{3 } +frac{4}{5}-.......... എന്ന അനന്തശ്രേണിയില്‍ എത്തിച്ചേരും.
ഇവിടെ ക്രമാനുഗതമായി പദങ്ങളുടെ തുക കണ്ടാല്‍ 4, 2.667, 3.467, 2.896, 3.340 എന്നിങ്ങനെ പോകും. രണ്ടു ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങള്‍ക്കു കൃത്യമായ വില ലഭിക്കണമെങ്കില്‍പ്പോലും 300 പദങ്ങള്‍ വേണ്ടിവരും. അതായത് വളരെ സാവധാനമേ ഈ ശ്രേണി -യോട് അഭിസരിക്കുകയുള്ളൂ.      

ലീലാവതീ വ്യാഖ്യാനമായ ക്രിയാക്രമകരിയില്‍ നാരായണന്‍ $pi = frac{104348}{33215}$pi = frac{104348}{33215} = 3.14159265  എന്നു കൊടുത്തിരിക്കുന്നു.       

കരണപദ്ധതിയില്‍ പുതുമന സോമയാജി, 10¹⁰ വ്യാസമുള്ള വൃത്തത്തിന്‍റെ പരിധി 31415926536 എന്നു കൊടുത്തിരിക്കുന്നു. ഇത് 10 ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ക്കു കൃത്യമായി $pi$pi-യുടെ വില നല്‍കുന്നു.       

10¹⁷ വ്യാസമുള്ള വൃത്തത്തിന്‍റെ പരിധി 314159265358979324 ആണെന്ന് സദ്രത്നമാലയില്‍ 1819-ല്‍ ശങ്കരവര്‍മന്‍ നിര്‍ണയിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഇത് 17 ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങള്‍ക്ക് കൃത്യമായി  $pi$pi-യുടെ വില ലഭ്യമാക്കുന്നു.       

വൃത്തവും ചതുരവും.r-വ്യാസാര്‍ഥമുള്ള വൃത്തത്തിന്‍റെ വിസ്തീര്‍ണം $pi r^2$pi r^2 ആണല്ലോ. r = 1 ആണെങ്കില്‍ ഈ വിസ്തീര്‍ണം $pi$piആകും. ഈ വിസ്തീര്‍ണത്തിനു തുല്യ വിസ്തീര്‍ണമുള്ള സമചതുരം നിര്‍മിക്കണമെങ്കില്‍  $sqrt{pi}$sqrt{pi} എന്ന നീളം നിര്‍മിക്കേണ്ടി വരും. വൃത്തത്തിനു തുല്യ വിസ്തീര്‍ണമുള്ള സമചതുരം നിര്‍മിക്കലും തിരിച്ച് സമചതുരത്തിനു തുല്യ വിസ്തീര്‍ണമുള്ള വൃത്തം നിര്‍മിക്കലും വര്‍ഷങ്ങള്‍ പഴക്കമുള്ള പ്രശ്നം ആയിരുന്നു.        

ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്ന നിരവധി ഏകദേശ മാര്‍ഗങ്ങള്‍ പ്രാചീന കാലം മുതല്‍ നിലവിലുണ്ടായിരുന്നു. ഭാരതീയ ഗ്രന്ഥമായ ശൂല്‍ബസൂത്രത്തില്‍ വൃത്തത്തെ സമചതുരം ആക്കാനുള്ള മാര്‍ഗമായി ഇപ്രകാരം പറയുന്നു. "വ്യാസത്തെ 15 ഭാഗങ്ങളാക്കി അതില്‍ 13 ഭാഗം സമചതുരത്തിന്‍റെ ഭുജമായി സ്വീകരിക്കുക". ഇതു പ്രകാരം $pi = frac {676}{225} =3.004 ....$ എന്നു കിട്ടുന്നു.

ഇതു പോലെ ഒരു സമചതുരത്തെ വൃത്തമാക്കാനുള്ള മാര്‍ഗവും ശൂല്‍ബസൂത്രത്തില്‍ പറയുന്നുണ്ട്. ഇതു പ്രകാരം ഒരു യൂണിറ്റ് വശമായുള്ള ഒരു സമചതുരത്തെ വൃത്തമാക്കുമ്പോള്‍ അതിന്‍റെ ആരം $frac {1}{6}(2+sqrt2)$ എന്നാണ് കിട്ടുന്നത്. ഇതു പ്രകാരം

$pi = frac {36}{(2+sqrt 2)^2} = 3.0$എന്നും കിട്ടുന്നു.

v. ആധുനിക കാലഘട്ടം. 1949 സെപ്റ്റംബറില്‍ അമേരിക്കന്‍ ഗണിതജ്ഞനായ ജോണ്‍ റെഞ്ചിന്‍റെ (John Wrench) നേതൃത്വത്തില്‍ കംപ്യൂട്ടര്‍ ഉപയോഗിച്ച് 70 മണിക്കൂര്‍ കൊണ്ട്   $pi$-യുടെ വില 2037 ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ക്കു കൃത്യമായി കണക്കാക്കി.
ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ ശ്രീനിവാസരാമാനുജന്‍ $pi$ ഉള്‍പ്പെട്ട നിരവധി സൂത്രവാക്യങ്ങള്‍ കണ്ടെത്തി.
       $frac {1}{pi} = frac{2sqrt{2}}{9801} displaystylesum_{n=0}^infty { frac {(4n)!(3434+5445)}{n}}$frac {1}{pi} = frac{2sqrt{2}}{9801} displaystylesum_{n=0}^infty { frac {(4n)!(3434+5445)}{n}}അവയിലൊന്നാണ്.
n = 0 ആയിരിക്കെ, 6 ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ക്കു ശരിയായി $pi$-യുടെ വില ഇതു നല്‍കുന്നു.  $pi$-ന്‍റെ ഓരോ അധികവിലയും ഏകദേശം എട്ടു സ്ഥാനങ്ങളുടെ കൃത്യത  $pi$-യ്ക്കു കൈവരുന്നു.

ഇതില്‍ നിന്നും പ്രചോദനമുള്‍ക്കൊണ്ട് 1980-ല്‍ ചുഡ്നോവ്സ്കി സഹോദരന്മാര്‍ (ഉക്രെയ്ന്‍) ഓരോ പദവും $pi$ -യ്ക്ക് 15 അക്കങ്ങളുടെ കൃത്യത നല്‍കുന്ന

$frac {1}{pi}= displaystylesum_{n=0}^infty {(-1)^n times frac {(6n)!}{(3n)!(n!)^3} frac{163096908+6541681608n}{(262537412640768000)^{n+frac 1 2}}}$

എന്ന ഭീമന്‍ സൂത്രം കണ്ടെത്തി. ചുഡ്നോവ്സ്കിമാര്‍ 1990-ല്‍ 2 ബില്യന്‍ (200 കോടി) ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ക്കു കൃത്യമായി  $pi$-യുടെ വില കാണാന്‍ സൂപ്പര്‍ കംപ്യൂട്ടര്‍ നിര്‍മിച്ചു. ടോക്കിയോ സര്‍വകലാശാലയിലെ കംപ്യൂട്ടര്‍ ശാസ്ത്രജ്ഞനായിരുന്ന യസുമസ കനഡ (ഥമൗാമെമെ സമിമറമ) 1981-ല്‍ ഒരു കംപ്യൂട്ടറിന്‍റെ സഹായത്താല്‍ 137 മണിക്കൂര്‍ കൊണ്ട്  $pi$-യുടെ വില 2 മില്യന്‍ (20 ലക്ഷം) സ്ഥാനങ്ങള്‍ക്കു കൃത്യമായി കണ്ടു. ഇതോടെ ജപ്പാനും അമേരിക്കന്‍ ഐക്യനാടുകളും തമ്മിലുള്ള ഒരു മത്സരമായി ഇതു മാറി. മൂന്നു വര്‍ഷങ്ങള്‍ക്കുശേഷം കനഡ തന്‍റെ റെക്കോഡ് 16 മില്യന്‍ (160 ലക്ഷം) സ്ഥാനങ്ങളാക്കി ഉയര്‍ത്തി. കാലിഫോര്‍ണിയയിലെ വില്യം ഗോസ്പര്‍ (William Gospar) 17.5 ദശലക്ഷത്തിലേക്ക് കടന്നപ്പോള്‍ നാസ(NASA)യിലെ ഡേവിഡ് എച്ച് ബെയ്ലി (David H Bailey) 29 ദശലക്ഷത്തിലെത്തി. 1986-ല്‍ കനഡ ഇവരെ തോല്‍പ്പിച്ച് 33-ലെത്തി. s-820 എന്ന കംപ്യൂട്ടറില്‍ ആറു മണിക്കൂറില്‍ താഴെ സമയമെടുത്ത് കനഡ അടുത്ത രണ്ടു വര്‍ഷത്തിനുള്ളില്‍ 201 മില്യന്‍ എന്ന പുതിയ റെക്കോഡിലെത്തി.

ചുഡ്നോവ്സ്കിമാര്‍ 1.13 ബില്യന്‍ (113 കോടി) സ്ഥാനങ്ങളുടെ കൃത്യതയിലെത്തിക്കുമ്പോള്‍ കനഡ 2002-ല്‍ 1.2 ട്രില്യന്‍ (1.2 x 10¹²)എന്ന പുതിയ ഉയരങ്ങളിലെത്തി. 2008-ല്‍ ത്സുകുബ (Tsukuba) സര്‍വകലാശാലയിലെ അദ്ദേഹത്തിന്‍റെ സഹപ്രവര്‍ത്തകര്‍ 2.6 ട്രില്യന്‍ എന്ന സംഖ്യയിലെത്തി. 2009 ഡിസംബറില്‍ ഫ്രാന്‍സിലെ ഫബ്രിസ് ബെലാര്‍ (Fabrice Bellard)) തന്‍റെ പേഴ്സണല്‍ കംപ്യൂട്ടറില്‍ 131 ദിവസമെടുത്ത് 2.7 ട്രില്യന്‍ സ്ഥാനങ്ങളുടെ നേട്ടമുണ്ടാക്കി. ഏറ്റവുമൊടുവില്‍ 208 ദിവസം കൊണ്ട് 13 ട്രില്യന്‍ സ്ഥാനങ്ങള്‍ക്കാണ്  $pi$-യുടെ വില കണ്ടുപിടിച്ചിരിക്കുന്നത്.
$\mathrm{<br>}$

$\mathrm{<br>}$-യുടെ വില കോടിക്കണക്കിനു ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ക്കു ശരിയായി കണ്ടുപിടിക്കുമ്പോഴും ഒരു ചോദ്യം അവശേഷിക്കുന്നു. സാധാരണ ആവശ്യങ്ങള്‍ക്ക് എത്ര സ്ഥാനങ്ങളുടെ കൃത്യതവരെ പോകണം?

സാധാരണ ആവശ്യങ്ങള്‍ക്ക് $pi$-യുടെ രണ്ടു ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങളുടെ കൃത്യത മതിയാവും. ശാസ്ത്രീയ ആവശ്യങ്ങള്‍ക്ക് അത് നാല് സ്ഥാനങ്ങള്‍ വരെയാവാം. ഒരിഞ്ചിനു ശരിയായി ഭൂമിയുടെ പരിധി നിര്‍ണയിക്കാന്‍ $pi$-യുടെ പത്തു ദശാംശസ്ഥാനങ്ങളുടെ കൃത്യത മതിയെന്ന് അമേരിക്കന്‍ ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രജ്ഞനായ സിമോണ്‍ ന്യൂക്കോംബ് (Simon Newcomb) അഭിപ്രായപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്. അതിനപ്പുറത്തേക്കുള്ള കണ്ടെത്തലുകള്‍ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ കൗതുകങ്ങളില്‍ നിന്നുണ്ടായതാണ്.

യൊഹാന്‍ ലാംബേര്‍ (johann Lambert; 172877)  $pi$ഒരു ഭിന്നകമല്ലെന്നു തെളിയിച്ചു. യോസഫ് ലയവില്‍ (joseph Liouville; 180982)  $pi -$അതീത സംഖ്യകള്‍ കണ്ടെത്തി. 1882-ല്‍ ലിന്‍ഡ്മാന്‍ (Lindemann; 18521939) $pi$- അതീതസംഖ്യയാണെന്നു തെളിയിച്ചു.

നിര്‍ദേശാങ്കജ്യാമിതി ഉപയോഗിച്ചാല്‍ ഒരു യൂണിറ്റ് വ്യാസാര്‍ഥവും കേന്ദ്രം മൂലബിന്ദുവുമായ വൃത്തത്തിന്‍റെ സമവാക്യം x² + y² = 1 ആണ്.    

ഈ വൃത്തത്തിന്‍റെ ചതുര്‍ഥാംശത്തിന്‍റെ വിസ്തീര്‍ണം  $frac {pi}{4}$ചതുരശ്ര യൂണിറ്റ് ആണ്. ഇതിനെ ഒരു സമാകലത്തില്‍ നിന്നും കണ്ടെത്താം.
$frac pi 4 = displaystyleint_{0}^1 sqrt{1-x^2}dx$

ഇക്കാരണത്താല്‍ കലനം, സമാകലനം എന്നീ ഗണിതശാസ്ത്രശാഖകളില്‍ $pi$-യുടെ സാന്നിധ്യം ശ്രദ്ധേയമാണ്. വൃത്തവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളുടെ ചുറ്റളവ്, പരിധി, വിസ്തീര്‍ണം, ത്രിമാനരൂപങ്ങളുടെ വ്യാപ്തം തുടങ്ങിയവ കാണാനുള്ള സൂത്രങ്ങളില്‍ $pi$  അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സിലും $pi$ സര്‍വസാധാരണമായി കണ്ടുവരുന്നു. ഒരു ജനസംഖ്യാവ്യവസ്ഥയില്‍ മരണത്തിന്‍റെ വിതരണം (distribution of death) $pi$-യുടെ ഒരു ഏകദമാണ്. ഒരു നാണയം 2n പ്രാവശ്യം എറിഞ്ഞാല്‍,n വളരെ വലുതാണെങ്കില്‍, 50 ശ.മാ. പ്രാവശ്യം വാലും 50 ശ.മാ. പ്രാവശ്യം തലയും ലഭിക്കാനുള്ള സംഭാവ്യത ആണ്.

നോര്‍മല്‍ സംഭാവ്യത വിതരണം (normal probability distribution) സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. 

$frac {1} {sqrt{2pisigma}}e^{frac{{-(x-mu)}^2}{2sigma^2}}$       എന്നാണ്.

ഒരു ലളിത പെന്‍ഡുലത്തിന്‍റെ പീരീഡ്  $2 pi {sqrt{frac 1 g}}$ ആണെന്ന് ഭൗതികശാസ്ത്രം. കൂടാതെ ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ്, ഐന്‍സ്റ്റൈന്‍റെ ആപേക്ഷികതയുടെ പൊതു സിദ്ധാന്തം തുടങ്ങിയവയിലെല്ലാം $pi$ -യുടെ സാന്നിധ്യമുണ്ട്. സിഗ്നല്‍ പ്രോസസിങ് തുടങ്ങി ശാസ്ത്രത്തിന്‍റെ ഏതു മേഖലയിലും  ഒഴിച്ചു $pi$കൂടാനാവാത്ത സംഖ്യയാണെന്ന് പറയാം.

VI. പാറ്റേണുകള്‍. $pi$-യുടെ ദശാംശ ഭിന്നരൂപത്തിലെ അക്കങ്ങള്‍ പരിശോധിച്ചാല്‍ പല കൗതുകങ്ങളും കണ്ടെത്താം. മൊത്തമായി ഒരു പാറ്റേണ്‍ അനുസരിച്ചല്ല   $pi$-യുടെ വിലയിലെ അക്കങ്ങളുടെ ക്രമം. ആദ്യമായി 0 എന്ന അക്കം 32-ാം സ്ഥാനത്തുവരുന്നു. ആറു പ്രാവശ്യം ഒരക്കം ആവര്‍ത്തിക്കുന്നത് 999999 ആണ്, 762-ാം സ്ഥാനത്ത്. 0123456789 എന്ന അനുക്രമം 1997-ല്‍ കനഡ കണ്ടെത്തിയിരുന്നു.

VII. $pi$ കൗതുകങ്ങള്‍. $pi$-യുടെ  വില അനേകം ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ക്കു കൃത്യമായി ഇപ്പോള്‍ കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട്.  എന്നാല്‍ ആയിരക്കണക്കിനു സ്ഥാനങ്ങള്‍ ക്രമം തെറ്റാതെ ഓര്‍മയില്‍ നിന്നും പറയുന്നവരുണ്ട്. അറുപതുകാരനായ അക്കിറ ഹരഗുച്ചി (Akira Haraguchi) ഒരു ലക്ഷം ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ ക്രമം തെറ്റാതെ ഓര്‍മയില്‍ നിന്നു പറഞ്ഞു.

പൈ ദിനാഘോഷം ഓരോ വര്‍ഷവും മാര്‍ച്ച് 14-ന് 3.14 എന്ന തീയതി സൂചന ആസ്പദമാക്കി കൊണ്ടാടുന്ന രീതി ഇന്നു നിലവിലുണ്ട്. 1988-ല്‍ ഇത്തരം ആഘോഷം ആരംഭിച്ചതായി പറയപ്പെടുന്നു. 2014-ലെ മാര്‍ച്ചുമാസം മുഴുവന്‍ (3/14) പൈ മാസം ആയി ചില ഗണിത കേന്ദ്രങ്ങള്‍ ആഘോഷിച്ചതായി കാണുന്നുണ്ട്.
(ഡോ. റ്റി.ജി. ശരച്ചന്ദ്രന്‍)